Lipo Innenwiderstand: Schätzformel und Qualitätsskala

Beim Thema Lipos sind Kapazität, C-Rate, und Spannungslage mittlerweile jeder/jedem ins Gedächtnis gebrannt, aber wie sieht es mit dem Innenwiderstand aus? Dabei is es der Innenwiderstand welcher, neben der Spannungslage, wesentlich mit bestimmt wieviel „Druck“ ein Lipo hat. Darüber hinaus sollte er sich auch gut als Qualitätsmerkmal eignen. So nimmt er z.B. mit dem Alter zu, d.h., es läßt sich anhand des Innenwiderstands abschätzen wie fit ein Lipo noch ist. Vielleicht noch interessanter ist, dass sich auch ein Zusammenhang zur C-Rate ergibt, denn tendenziell gilt, je höher die C-Rate desto geringer der Innenwiderstand. Dieser Zusammenhang besteht aufgrund einfacher physikalischer Gesetzmässigkeiten, aber (leider) lässt er sich nicht einfach angeben. Das fängt mit so einfachen „Problemen“ an wie das jeder seine C-Rate anders definiert und hört mit schwierigen „Problemen“ auf wie das unterschiedliche Messmethoden zur Bestimmung des Innenwiderstands unterschiedliche Werte liefern.

Was also tun? Ich gehe das hier statistisch an, d.h., ein „großer“ Datensatz wird auf statistische Trends hin untersucht. Für den Zusammenhang zwischen C-Rate und Innenwidertsand nehme ich eine einfache Formel an, die natürlich für einen einzelnen Lipo nicht exakt stimmen wird, aber sie wird mit einer hohen Wahrscheinlichkeit einen guten Schätzwert liefern. Hat man dies kann man den Spieß auch umdrehen und eine Qualitätsskala für Lipos darauf aufbauen, nach dem Motto: Ist die C-Rate bzw. der Innenwiderstand besser als er sich aus der Formel ergibt, dann handelt es sich um einen – im Vergleich zur Masse der Lipos – besseren Lipo, und natürlich umgekehrt.

Schätzformel
Mit der vom Hersteller eines Lipos angegebenen Kapazität und C-Rate ergibt sich (für den von mir betrachteten Datensatz), dass der aus

    

berechnete Innenwiderstand in 80% der Fälle genauer als 20% ist.

Diese Formel eignet sich nicht für eine genaue Bestimmung des Innenwiderstand, aber man bekommt eben einen „möglichst guten“ Schätzwert. Hinzuzufügen ist, dass dies natürlich der Innenwiderstand pro Zelle ist!

Beispiel: Betrachten wir ein Lipo mit den Angaben 3S, 2200 mAh, 40 C. Der Innenwiderstand einer Zelle ergibt sich dann zu 0.51 V/( 2.2 Ah * 40 1/h ) = 5.8 mOhm, oder auf das gesamte Pack bezogen 17.4 mOhm.

OlliW’s Qualitätsskala

kommt noch

Warum hängt der Innenwiderstand mit Kapazität und C-Rate zusammen?

kommt noch

Datensatz
Der einzige umfangreichere und verlässliche, also unter kontrollierten und vergleichbaren Bedingungen erstellte Datensatz den ich kenne ist der von Gerd Giese (http://www.elektromodellflug.de/). Ich habe die dort zu findenden Werte in eine Tabelle übernommen und weiter „verwurstet“. Ich habe allerdings nicht alle verfügbaren Daten genommen, sondern „nur“

• Datensatz #1: Alle Lipos die auf seiner „neuen“ Webseite unter Akku Test->Lipo zu finden sind (also ohne die unter „weitere“). Anzahl: 39 (Stand 1. Dez. 2011)

• Datensatz #2: Alle Lipos die auf der „alten“ Webseite unter Top News zu finden sind (erreicht man über Akku Test->Lipo->weitere). Anzahl: 50

• Datensatz #3: Alle Lipos die auf der „alten“ Webseite unter Älter als sechs Monate zu finden sind (erreicht man über Akku Test->Lipo->weitere). Anzahl: 88

Insgesamt sind das also 177 Lipos, da lassen sich eventuell statistische Aussagen schon treffen (). Die Einschränkung auf diese Lipos habe ich nicht nur aus Faulheit gemacht, sondern auch weil ich mir dachte das es wenig Sinn macht „alte“ Lipotypen mit heranzuziehen.

Statistische Analyse
Für die Analyse gehe ich vom Zusammenhang

    

aus, und frage welchen Wert für man den „am Besten“ nehmen sollte um einen möglichst guten Schätzwert für den Innenwiderstand zu bekommen. Diesen Teil hatte ich schon früher hier bei rc-heli gepostet. Zunächst hatte ich Datensatz #1 ausgewertet, das Ergebnis ist in den folgenden vier Bilder gezeigt:

Oben links sind zunächst die aus den von Gerd gemessenen Innenwiderständen und den vom Hersteller angegebenen Kapazität und C-Rate über die obige Formel bestimmte gezeigt. Man erkennt einen „wilden Haufen“ der ungefähr durch einen konstanten Wert von beschrieben werden kann. Die Verteilung der so ermittelten ist oben rechts gezeigt. Es sieht so halbwegs Gauss-förmig aus, mit einem Mittelwert für . Die Verteilung ist allerdings auch recht breit. Ich habe nun daraus den Fehler im Innenwiderstand bestimmt, welchen man mit der Annahme von im Vergleich zum echten Innenwiderstand machen würde; die Verteilung ist unten links zu sehen, und der summierte Fehler unten rechts.

Was sagt uns das? Nun, nimmt man einen Wert von an, und bestimmt über die obige Formel den Innenwiderstand, dann ist der so erhaltene Wert für in 70% der Fälle genauer als 40%. Das gilt natürlich nur für den Datensatz #1, und (nur) wenn dieser „repräsentativ“ wäre würde sich das Ergebnis auf unbekannte Lipos übertragen lassen.

Um nun ein Gefühl dafür zu bekommen wie repräsentativ dieser Befund ist, habe ich die gleiche Analyse auch für die Datensätze #2 und #3 durchgeführt. Ich will nur die Verteilungen der zeigen:

Diese Verteilungen sind schon recht „lustig“. Bemerkenswert ist das für alle drei der Mittelwert sehr nahe an den 0.5 V ist, obwohl die Verteilungen ja schon sehr unterschiedlich aussehen: die Erste ist breit, die Zweite nach rechts und die Dritte nach links verzogen. Das deutet an, dass der Wert recht zuverlässig zu sein scheint. Die Verteilung für die neueren Messungen u./o. neueren Lipos ist deutlich breiter als für Datensatz #2 und #3. Warum das so ist weis ich natürlich nicht, aber man kann daraus bereits ersehen das sich, wenn man nun alle Daten zusammen auswertet, ein „besserer“ Fehler ergeben wird.

Und genau so ist es auch, das Ergebnis der Auswertung für alle Daten ist in den folgenden vier Bildern gezeigt:

Die Erklärung was die einzelnen Bilder zeigen kann ich mir sparen, ist wie oben. Interessant ist jetzt nur, dass die Verteilungen durchwegs schärfer sind als für den Datensatz #1 alleine, und dementsprechend ergibt sich auch eine schärfere Aussage zum Fehler:

Mit ist der über die obige Formel bestimmte Innenwiderstand in 80% der Fälle genauer als 20%.

Wieder gilt das natürlich nur für den gewählten Datansatz. Leider bin ich kein grosser Statistiker und kann die eigentlich interessante Frage, welche Aussage man mit welcher Wahrscheinlichkeit für einen unbekannten (nicht im Datensatzt enthaltenen) Lipo treffen kann nicht beantworten. Vielleicht kann das ja jemand von Euch. Aber ich denke das Bisherige gibt einem ein ganz gutes Gefühl dafür wie genau der über die obige Formel bestimmte Wert des Innenwiderstands sein wird.

Schaut man sich die zwei gezeigten Bilder für genauer an, dann scheint der Trend des „wilden Haufens“ besser durch eine Gerade als durch einen konstanten Wert für beschrieben zu sein; ist bei kleinen Werten von Kapazität*C-Rate systematisch kleiner als bei hohen Werten. Und tatsächlich, der linearen Trend im „wilden Haufen“ ist statistisch relevant. Die Wahrscheinlichkeit das keine Korrelation existiert is kleiner als 0.001; der R-Faktor ist 0.38. Aber für unsere eigentliche Frage hilft das nicht viel, der wahrscheinliche Fehler von wird zwar ein bischen aber kleiner, nicht viel.

Hier nun die Bilder:

Die Daten werden durch

    

am Besten linear gefittet. Die Verteilung des Fehlers im ist tatsächlich etwas smäller als für die urprüngliche, einfacherer Formel, aber nicht sehr viel schmäler. Das zeigt der Vergleich des summierten Fehlers für die „originale“ und die „verbesserte“ Formel, welche im Bild ganz rechts gezeigt sind. Tja, so ist das halt. Es gibt mindestens noch einen wichtigen Faktor welcher den Innenwiderstand mitbestimmt aber noch nicht aufgedeckt ist. Als grobe Daumenregel ergibt sich:

Der mit der verbesserte Schätzformel bestimmte Innenwiderstand ist oft genauer als 10%, und fast immer besser als 25%. Ausnahmen bestätigen die Regel.